ARITHMÉTIQUE

 

Divisibilité dans Z. Division euclidienne et congruences.

 Le calendrier grégorien (partie 1) : tomber un même jour et sa correction **

~ Activité d'introduction n°1 ~

 

Les clés de contrôle (partie 1) : numéros EAN-13 et ISBN-13 et sa correction **

~ Activité d'introduction n°2 ~

 

Le calendrier grégorien (partie 2) : une date, un jour et sa correction (à venir) **

~ Activité d'introduction n°3 ~

 

Petit bonus vidéo sur le calendrier :

la date de votre anniversaire n'est pas forcément celle de votre naissance...

 

 

Le cours

Divisiblité dans Z. Division euclidienne dans Z. Congruences.

 

Démonstration du théorème sur la division euclidienne dans Z

 

Fiche d'exercices

+ correction des exercices 8 et 9 **

+ correction de l'exercice 10 **

+ correction de l'exercice 11 **

 

Les clés de contrôle (partie 2) : l'algorithme de Luhn et sa correction (à venir) **

- Numéro de carte bancaire
- Analyse d'un ticket de caisse : n° SIRET et n° TVA INTRA
- Analyse d'un reçu de CB
& compléments (affaire Humpich...)

 

Exponentiation modulaire rapide

+ comparaison de rapidité de 3 algorithmes (en Python)

 

PGCD. Théorèmes de Bézout et Gauss.

Activité d'introduction : partage à la diophantienne

Pour voir des exemples de pâtisseries de Cédric Grolet : cliquer ici

+ correction ** de l'activité

+ algorithmes Python : version de O. Trujillo / version de R. Dabrowski / version de L. Vendeville **

 

Le cours

 

• Algorithme (fonction Python) pour calculer un PGCD : ici.

Algorithmes (Python) pour déterminer les coefficients de Bézout : à venir

 

Equations diophantiennes

+ correction de la partie A **

+ Algorithme (Python) pour résoudre une équation diophantienne : à venir


 

Inverse modulaire d'un entier relatif

 

• Cryptographie :

Une petite vidéo pour commencer :

 

 

1. Chiffrement affine

- Fonctions (Python) utiles au codage, de l'énoncé : fichier .py

- Texte à décrypter :

« uv xggzgwsyja cus av ilnscua i gtyanfa pa rnay zay wgnszzay y ajgvva pa z uvslgnksja pa zaun fsa aj pa zaun wnivp paygaufnakavj pay haunay aj pay haunay yivy nsav lisna szy va egvvisyyavj pgve riy z avvus eajja cuayjsgv ayj tsav p uv hgkka p uv ysvwa geeura zgsv pa lusn zi kgvgjgvsa zay ivskiub zi naehanehavj aj ea cu szy napgujavj za rzuy e ayj pa zi fgsn eayyan ein azza va eayya cua rgun ajna nakrzieaa rin zi raun eiuya pa jguj illisnakavj z sviejsgv ayj psfsva e ayj rgunjivj egvjna azza cua z hgkka y ayj svyunwa zus yauz pivy zi vijuna ayj sveiritza pa yurrgnjan zi kgvgjgvsa zus yauz fauj i jguj rnsb cua cuazcua ehgya innsfa v skrgnja cugs rin zi sz ya kgvjna svpswva pa ygv iveajnav za taygsv pa vgufaiuja ayj za lisj p uv wgnszza lgunfgma aksz esgniv »

 

2. Chiffrement de Vigénère

 

3. Chiffrement de Hill

 

4. Chiffrement asymétrique (clé publique) : échange de clés de Diffie et Hellman

 

5. Chiffrement asymétrique (clé publique) : protocole RSA

 

Remarque : l'exponentiation modulaire rapide est utilisée dans 4. et 5.

 

Nombres premiers

Vidéo d'introduction, de David Louapre* :

Un nombre premier est une notion très simple. Mais l'étude de ces nombres se révèle extraordinairement compliquée, voire celle qui pose le plus problème aux mathématiciens.
Petit tour des conjectures et théorèmes liés aux nombres premiers :

 

 

* excellente chaine YouTube "ScienceEtonnante", blog : https://sciencetonnante.wordpress.com/

 

Le petit théorème de Fermat

 

Tester si un nombre est premier

 

Le cours

 

Répartition des nombres premiers

 

Les nombres de Fermat

 

MATRICES

 

Partie 1 : calcul matriciel, système linéaire

Dynamique d'une population d'arbre

~ Activité d'introduction n°1 ~

 

Elevage de bovins et système linéaire

~ Activité d'introduction n°2 ~

 

Systèmes linéaires

~ Activité d'introduction n°3 ~

 

Le cours

Définition. Somme, multiplication de matrices. Matrices unités. Puissances d'une matrice.
Inverse d'une matrice. Ecriture matricielle d'un système linéaire.

 

Fiche d'exercices

 

Un sujet de Bac (juin 2016) et sa correction (version 1 ** ; version 2 **)

Il s'agit en fait d'un exercice sur les "urnes de Ehrenfest" avec 2 boules.
Ce modèle simplifié de diffusion d’un gaz à travers une membrane poreuse fut proposé en 1907 par les physiciens autrichiens Tatiana et Paul Ehrenfest pour décrire en termes de physique statistique les échanges de chaleur entre deux systèmes portés initialement à une température différente. Il permit ainsi de mieux comprendre le phénomène thermodynamique et de lever un paradoxe... Nous le verrons plus tard.

 

Partie 2 : études asymptotiques de processus discrets

Bonus et malus en assurance automobile

~ Activité d'introduction ~

 

Le cours

Suites récurrentes et matrices, convergence et état stable, application aux marches aléatoires.

 

Pertinence d'une page web

+ un article de la revue Accromath (volume 9, hiver-printemps 2014)

Autour de l’année 1995, une bonne dizaine de moteurs de recherche s’offraient aux internautes.

Mais le nombre de sites de la grande toile explosait et, de plus en plus, l’efficacité de ces moteurs diminuait.
En 1998 Google lançait son moteur et, en quelques années, tous les internautes l’avaient adopté. Pourquoi ?

 

Compression d'images : le format JPEG

+ un article de la revue Accromath (volume 7, été-automne 2012)

Les sites Web que nous visitons sur la Toile sont maintenant inondés d’images.

Cela constitue naturellement un problème de taille, car une quantité énorme d’informations doit être transférée du serveur jusqu’à notre ordinateur. Pour accélérer le traitement de ces images, il faut compresser celles-ci. Ce procédé diminue le poids de l’image en ne sacrifiant pas ou presque pas la qualité.

 

Modèle proie-prédateur (de Lotka-Volterra discrétisé)

 

 

* Documents visibles uniquement par les utilisateurs enregistrés et connectés.
** Documents visibles uniquement par les Terminales connectés.