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~ L'ensemble des cours en un seul manuel de 172 pages ~

 

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  Restitutions Organisées de Connaissances

 

Toutes les R.O.C. avec leurs démonstrations

 

Toutes les R.O.C. sous forme d'exercices "type Bac"

 

Des exemples de R.O.C. posées au Bac S

 

 

ANALYSE

 

Suites. Raisonnement par récurrence.

Généralités sur les suites (rappels de 1°S) - Exercices

avec sa correction **

+ une fiche d'exercices (source : chingatome.net) de révisions de 1°S avec sa correction

 

Le cours


Correction de l'exercice 24 page 53 **

Correction de l'exercice 67 page 57 (à venir) **

Correction de l'exercice 68 page 57 **

 

Fiche d'exercices supplémentaires et sa correction **

Source : tiré de dominique.frin.free.fr

 

Démonstration du "raisonnement par récurrence" à l'aide de l'axiomatique ordinale

Document de P. Zarpas, trouvé sur le net

 

Démonstration (par récurrence) de l'inégalité de Bernoulli

Cette démonstration est une Restitution Organisée de Connaissances (R.O.C.).

 

Démonstration (par récurrence) du binôme de Newton

Source : tiré de chingatome.net


 

Compléments

 

Quelques éléments biographiques sur Kurt Gödel

 

Une magnifique vidéo de David LOUAPRE (Science Etonnante) pour mieux comprendre les théorèmes d'incomplétude de Gödel :

 

Un article de la revue Accromath sur les suites de Collatz, de Goodstein, sur Gödel et ses théorèmes d'incomplétude de 1931...

Le calcul de certaines suites de nombres peut parfois provoquer des envolées numériques au comportement étonnant, qui semblent filer vers des espaces intersidéraux infinis… mais qui peuvent éventuellement, contre toute attente, revenir atterrir tout doucement sur Terre !

 

Pour visualiser le jeu de l'hydre et essayer de comprendre la démonstration du théorème de l'hydre (Hercule parviendra à tuer l'hydre quelles que soient sa taille initiale et la stratégie utilisée), donc parler d'ordinaux de façon « ludique » :

 

Suites. Limites.

Pi = 2 ?

Le cours

+ une fiche/résumé (source : Paul MILAN)

 

Vrai/faux sur les suites et sa correction (à venir) ** 

 

Compléments

 

Le scandale des séries divergentes... 1+2+3+4+5+… = -1/12 ?!!

Un bel article de David Louapre sur son blog : "science étonnante".

Affecter -1/12 à cette somme est possible sous certaines conditions, et les calculs heuristiques, quoique formellement faux, permettent étonnamment de retrouver cette valeur.
Le pire : ce résultat en apparence absurde est utilisé dans quelques modèles de physique théorique, et notamment c’est elle qui détermine les fameuses dimensions supérieures de la théorie des cordes !

 

Limites de fonctions.

Le cours

 

Quelques démonstrations de propriétés du cours (hors programme)


Calculs de dérivées.

PARTIE 1 : rappels de Première S

Fiches de révisions sur la dérivation :

- fiche n°1 * et sa correction *

- fiche n°2 * et sa correction *

Source : chingatome.net

 

Le cours

 

Exercices et compléments et sa correction **

Fiche d'exercices (dont un sur une propriété bien utile dans le chapitre "fonction exponentielle")

+ une biographie intéressante de Joseph Louis Lagrange

 

PARTIE 2

Le cours

 

Une démonstration de la formule de la dérivée d'une fonction composée (hors programme)

Source : chingatome.net

 
Fonction exponentielle.

Activité d'introduction : méthode d'Euler [compte-rendu]

et tracé de la courbe de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler sur l'intervalle [-1;1]
(fichier Geogebra en ligne; pour une version à télécharger - .ggb - cliquer ici)

 

Le cours

 

Courbe représentative de la fonction exponentielle (avec 2 tangentes particulières)

 

Continuité d'une fonction sur un intervalle.

Le cours

 

Fonction logarithme népérien.

Le cours

 

Intégration (et primitives).

Le cours

 

Le cours sur les primitives

 

Une fiche d'exercices sur le calcul de primitives et sa correction (à venir) ** 

 

Activité algorithmique : deux autres méthodes de calcul de valeurs approchées d'intégrales

Méthode Monte-Carlo (par rejet) et méthode de l'espérance (valeur moyenne).

 

Un rapide résumé de l'histoire de l'intégration

 

Un article : "Newton vs Leibniz. Qui a inventé le calcul intégral ?" *

Source : Tangente HS n°50.

La question est encore controversée de nos jours.

 

Fonctions cosinus et sinus.

 

Le cours

 

Un schéma de résumé sur les équations trigonométriques

Source : Paul Milan, https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/pages/mathTermS.html

 

Démonstrations des formules d'addition et de duplication (1°S)

Source : https://www.parfenoff.org/

 

Compléments :

- pourquoi sinus et cosinus ? (étymologie)

- à quoi servent ces fonctions ? (ondes)

- un mot sur la trigonométrie hyperbolique

 

 

Comment les calculatrices calculent-elles les fonctions trigo. cos, sin, tan

Source : Malice 2000 Lycées, éditions du Kangourou

 

 

GÉOMÉTRIE

 

Nombres complexes (partie 1).
Définition, opérations et propriétés usuelles, conjugué, équations du second degré, représentation graphique + historique..

Introduction historique aux nombres complexes

Au XVIe siècle, les algébristes italiens apprennent à résoudre les équations du troisième degré, en les ramenant à des équations du second degré dont la résolution est connue depuis le IXe siècle grâce aux mathématiciens arabes.
Au cours de cette recherche vont apparaître les nombres complexes.

 

Histoire des nombres complexes

Une longue histoire, rocambolesque et un peu complexe. Histoire des "nombres imaginaires"...
A la fin du document, des anecdotes croustillantes sur Tartaglia et Cardan... A LIRE !

 

Le cours

 

A quoi ça peut servir les fractales (comme celle de Mandelbrot) ?

Un article du magazine L'Express sur l'utilité des fractales dans notre quotidien. A LIRE ! 

 

Une superbe vidéo de ElJj pour comprendre ce qu'est l'hypothèse de Riemann, la conjecture la plus célèbre du monde !

 

 

Compléments sur les ensembles de Julia et les ensembles de Mandelbrot

  Mandel zoom 00 mandelbrot setCliquer sur l'image pour l'afficher en taille réelle (source : Wikipedia)

 

Pour comprendre (et visualiser) :

 

1) une partie d'un épisode de l'extraodinaire film Dimensions (site) : ici (env. 6 minutes).

 

2) une vidéo du génial El Jj :

 

 

Ainsi que l'article correspondant, qui récapitule bien la différence entre ensemble(s) de Julia et ensemble de Mandelbrot (+ de jolies images) : ici.

 

3) un article de El Jj sur les "cousins" des ensembles de Mandelbrot (en changeant la formule z2+c par d'autres expressions, comme z17+c : ici.

 

Pour visualiser seulement :

 

1) un zoom jusqu'à 1031, qui a nécessité 136 heures de calculs sur 2 PC (cliquer sur l'image) : ici.

 

2) un zoom fascinant jusqu'à 10227, qui a nécessité environ 4 semaines de calculs :

 

 

3) Une (petite) galerie d'ensembles de Julia, absolument MAGNIFIQUES, par Jos Leys : ici.

 

4) Télécharger le logiciel (gratuit) XaoS, qui permet d'explorer toutes sortes de fractales dont bien sûr les ensembles classiques de Julia et Mandelbrot - la plupart des vidéos citées ci-dessus ont utilisé XaoS : ici.


Nombres complexes (partie 2).
Forme trigonométrique, notation exponentielle, applications en géométrie + la plus belle formule du monde.

Le cours


Droites et plans dans l'espace.

Sections planes : une fiche d'exercices pour s'entraîner.

 

Le cours

 

Un exercice type corrigé

 

Les figures des exercices 21, 75 et 97, afin de tracer les sections planes

 

Démonstrations des deux propriétés suivantes :

" Soit P un plan et A un point de l'espace.
Il existe une unique droite passant par A et orthogonale à P. "

" Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles. "


Géométrie vectorielle.

Le cours

 

Fiche d'exercices

Correction de l'exercice 1 :

 

 

Une interrogation (3 exercices) pour s'entraîner et sa correction ** 

 

Fiche résumé sur les droites de l'espace (source : P. MILAN)


Produit scalaire.

Rappels sur le produit scalaire dans le plan (1°S):

 

 

Le cours

 

14 exercices de Bac (sessions 2015 et 2016)

et leurs corrections (source : APMEP) **

 

Fiche résumé sur les plans de l'espace (source : P. MILAN)

Fiche bilan sur le produit scalaire (source : P. MILAN)

 

 

PROBABILITÉS - STATISTIQUES

 

Probabilités conditionnelles.

Rappels : l'essentiel de Seconde

 

Le cours

 

Fiche d'exercices de Bac

 

Correction des exercices 9, 21 et 25 pages 376/377/378 **

 

Rappels de 1°S sur les lois de probabilités * et la loi binomiale *

Source : mathematoques.weebly.com

 

Un article : "causes, conséquences et probabilités" *

Source : Tangente HS n°17.

Le théorème de Bayes permet d'attribuer une probabilité aux différentes causes possibles d'un événement donné...

+ une utilisation en physique des particules.


Lois à densités (partie 1). La théorie & les lois uniformes.

Le cours


Lois à densités (partie 2). Les lois exponentielles.

Le cours

 

Compléments

 

Un article sur l'espérance de vie

D’après un article de François Sauvageot, mathématicien, enseignant, chercheur.

" Comme toujours avec un indicateur, il faut rester sur ses gardes : il répond à une question et il faut garder à l’esprit cette question afin ne pas user de cet indicateur pour répondre à une autre question. "

Source : http://maths-au-quotidien.fr/lycee/esperance.pdf

 

+ Comment est calculée l'espérance de vie ? Paradoxes. *

Source : Alternatives économiques (déc. 2016)


Lois à densités (partie 3). Les lois normales.

La planche de Galton :

 

Activité de rappels sur la loi binomiale (fraude systématique favorable ?)

 

Rappels de 1°S sur les lois de probabilités et la loi binomiale *

Source : http://mathematoques.weebly.com

 

Compte-rendu de l'activité d'introduction à la loi normale (faite en classe)

   + lien vers le fichier Geogebra en ligne associé

(version téléchargeable ici)

 

Le cours

+ un complément : lorsqu'on approche une binomiale par une loi normale, on peut démontrer que l'erreur est inférieure à 0,0127, ce qui selon la situation étudiée n'est pas négligeable.

 

Correction de l'exercice 65 page 423 (type Bac)

 

Compléments

Des informations passionnantes sur : pourquoi la loi  normale centrée réduite a longtemps été utilisée ?

Pourquoi la loi normale est très utilisée ? Et pourquoi loi « normale » ?

Quel est l'historique de la loi normale, et pourquoi « normale » ?
Quelques infos biographiques sur les mathématiciens contributeurs à cette superbe loi.

 

 

Activité sur la correction de continuité

 

Activité sur le carnet de santé (courbes de masse et de croissance)

Suis-je normal ? La loi normale s'invite dans le carnet de santé officiel... Mais d'où viennent ces données ? ^_^

 

 

Une démonstration accessible à un T°S du théorème de Moivre-Laplace dans le cas p=0.5 (hors programme)

 

Compléments sur la méthode Monte-Carlo et AlphaGo (Google DeepMind ; jeu de go)

 

Nous avons vu la méthode Monte-Carlo dans l'exercice 94 p.274, ce qui nous a permis de calculer l'intégrale d'une fonction dont on ne connaît pas de primitive.
La méthode Monte-Carlo désigne une famille de méthodes algorithmiques visant à calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis, et publié pour la première fois en 1949 dans un article coécrit avec Stanislaw Ulam.
En mars 2016, le programme AlphaGo, créé par Google DeepMind, a battu pour la première fois un des meilleurs joueurs mondiaux au jeu de go... Les spécialistes pensaient pourtant que cela prendrait au moins 10 ans pour y arriver.
AlphaGo s'est nourri de 30 millions de mouvements de joueurs professionnels pour sa phase d'apprentissage, qu'il a complété par une phase d'apprentissage renforcé.
Il utilise la méthode de Monte-Carlo, guidée par deux réseaux de neurones profonds, contenant chacun 12 couches qui tendent à imiter le fonctionnement du cerveau humain, capable de traiter plusieurs informations en même temps, de les associer puis d'en déduire une conclusion.

•   Pour mieux comprendre de quoi il s'agit : accéder à l'article   •

 

 


Intervalle(s) de fluctuation.

Le cours

 

Les intervalles de fluctuation de Première (algorithmes en langage naturel)

 

Fiche de 15 exercices + corrections des exercices 1 à 7 (à venir) **

 

Compléments

 

Un exercice pour démontrer qu'à partir d'un certain rang, la probabilité que la fréquence Fn appartienne à l'intervalle de fluctuation vu en Terminale est SUPERIEURE à 95% : (et sa correction ** )

 

Un article sur la représentation "en 3D" des intervalles de fluctuation étudiés au lycée

Avec les intervalles de fluctuation de Seconde et de Terminale, on peut chercher à représenter dans l'espace une fonction qui à tout entier naturel non nul n et à tout réel p appartenant à [0;1] associe la probabilité que Fn appartienne à In (intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 vu en Terminale) ou Jn (intervalle de fluctuation - asymptotique approché - vu en Seconde).

 

Estimation. Intervalle de confiance.

Le cours

 

Lien vers un fichier Geogebra en ligne qui permet d'estimer une proportion p à partir de plusieurs échantillons (intervalle de confiance au seuil 0.95)

(version téléchargeable ici)

 

Fiche de 11 exercices

 

Compléments

 

Une vidéo (un peu technique mais géniale) sur les instituts de sondage en France et leurs liens avec les politiques, les lobbies, les grands chefs d'entreprises... :

 

 

Une vidéo du magazine Envoyé Spécial sur les " secrets de sondages" :

Les sondages sont devenus incontournables dans les campagnes électorales. Pourtant, ils se trompent souvent : victoire du Brexit, de Donald Trump ou de François Fillon aux primaires de la droite, trois événements majeurs que les instituts n’ont pas su prévoir. Quelle confiance peut-on accorder aux sondages ? Pendant plusieurs mois, une équipe d’"Envoyé spécial" a enquêté dans les cuisines des sondeurs. Elle a découvert des méthodes contestables : des sondés rémunérés qui n’hésitent pas à mentir, des questions biaisées, des chiffres manipulés.
Quels sont les secrets de fabrication des sondages ? Comment sont-ils conçus ? Jusqu’où influencent-ils les électeurs et les candidats eux-mêmes ? Mettent-ils en danger notre démocratie ? Révélations sur les secrets des oracles de la politique.

 

 

* Documents visibles uniquement par les utilisateurs enregistrés et connectés.

** Documents visibles uniquement par les Terminales connectés.