« Le silence éternel de ces espaces infinis m'effraie. » [ Blaise Pascal (1623-1662) ]

 

    

G. Cantor / K. Gödel / B. Russell

 

 

Lorsque nous sommes à l'école primaire, nous apprenons à compter et à écrire ces nouveaux nombres avec les 10 symboles (numération décimale) que sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

0, 1, 2, 3, 4, 5, … , 99, 100, 101, … , 999, 1 000, 1 001, … , 999 999, 1 000 000, 1 000 001, … , etc.

Nous pouvons continuer ainsi pendant longtemps… très longtemps… Il y a une infinité d'entiers naturels.

Nous noterons pour l'instant \(\infty_{\mathbb{N}}\) cet infini (l'ensemble des entiers naturels se note \(\mathbb{N}\) et le symbole de l'infini est \(\infty\) - il a été inventé par le mathématicien John Wallis en 1655, sa forme est similaire à la lemniscate de Bernoulli, une courbe plane ayant la forme d'un 8).

 

Mais cette notion d'infini n'est pas si facile à appréhender. Même tellement difficile qu'il faudra des millénaires aux mathématiciens pour arriver à « le faire » correctement : l'infini prendra réellement un statut rigoureux au XIXe siècle avec l'immense Georg Cantor (né en Russie en 1845, mais habite en Allemagne dès ses 11 ans ; décès en 1918).

 

Question 1 : y a-t-il autant d'entiers naturels que d'entiers naturels pairs ?

 

Ces derniers sont : 0, 2, 4, 6, 8, 10, … , 98, 100, … , 998, 1000, etc.

Il y en a bien sûr une infinité...

Mais construisons ce qu'on appelle une bijection entre ces deux ensembles : à tout entier naturel n, j'associe l'entier naturel 2n, qui est pair.

n 0 1 2 3 4 5 ... 100 101 ... 1 000 1 001 ... 100 000 100 001 etc.
2n 0 2 4 6 8 10 ... 200 202 ... 2 000 2 002 ... 200 000 200 002 etc.

Autrement dit, je peux « relier » chaque entier naturel n au nombre pair 2n, et réciproquement je peux « relier » tout nombre pair 2n à l'entier naturel n : il y a donc autant d'entiers naturels que d'entiers naturels pairs ! Alors qu'intuitivement, il y a deux fois plus d'entiers naturels que d'entiers naturels pairs.

 

Question 2 : y a-t-il autant d'entiers naturels que d'entiers relatifs ?

 

Intuitivement, bien sûr que non ! Puisque les entiers relatifs sont composés des entiers naturels auxquels on ajoute les entiers négatifs…
Et pourtant, voici une bijection entre ces deux ensembles :

... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...
... 9 7 5 3 1 0 2 4 6 8 10 ...

Autrement dit, à tout entier naturel n, on associe l'entier 2n, et à tout entier strictement négatif n on associe l'entier impair -2n-1. Et réciproquement…

On a donc ce résultat surprenant : \(\infty_{\mathbb{N}}\) = \(\infty_{\mathbb{Z}}\).

 

De même, on pourrait montrer que \(\infty_{\mathbb{N}}\) est égal à l'infini de l'ensemble des carrés, des cubes, etc.

Il semble donc qu'il existe un unique infini, que l'on appelle infini dénombrable, puisque tous les autres infinis peuvent se ramener à celui des entiers naturels (dénombrable). Mais l'infini regorge de surprises…

 

Question 3 : y a-t-il autant d'entiers naturels que de nombres réels ?

 

La réponse est NON, et ce fut découvert en 1891 par Georg Cantor : c'est l'argument de la diagonale de Cantor.
Prenons une liste (quelconque) dénombrable de réels de l'intervalle [0 ;1] :

r1 = 0, 0 1 0 5 1 1 0 …
r2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3 …
r3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6 …
r4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6 …
r5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6 …
r6 = 0, 9 9 3 7 8 1 8 …
r7 = 0, 0 1 0 5 1 3 0 … etc.

Le nombre obtenu à partir de la diagonale est : 0,0140210…

En changeant chaque décimale par sa suivante, on construit alors le nombre : 0,1251321

Ce nombre ne peut être dans la liste ci-dessus, car il diffère de r1 par sa première décimale, de r2 par sa deuxième décimale, de r3 par sa troisième décimale, etc.

Autrement dit, pour toute liste dénombrable de [0 ;1], on peut construire un réel de [0 ;1] qui n'est pas dans cette liste. Conclusion : > .

Il est alors facile d'arriver à montrer que l'infini des réels est strictement plus grand que celui de ? :

\(\infty_{[0;1]}\) > \(\infty_{\mathbb{N}}\).

 

Question 4 : y a-t-il un infini plus grand que celui des réels ?

 

Eh bien oui ! Avec le même type d'arguments que sa diagonale, Cantor démontra son théorème :

Si X est infini, on peut montrer que P(X) est strictement « plus grand » que X,

où P(X) est l'ensemble des sous-ensembles de X.

Pour mieux comprendre, commençons par travailler avec un ensemble X fini à trois éléments : {e1 ;e2 ;e3}.

Pour construire l'ensemble P(X) des sous-ensembles de X, construisons un tableau en indiquant toutes les possibilités de choix :

 

e1

e2

e3

L'ensemble P(X) contient alors 8 sous-ensembles :

oui

oui

oui

{e1 ;e2 ;e3} qui est X

oui

oui

non

{e1 ;e2}

oui

non

oui

{e1 ;e3}

oui

non

non

{e1}

non

oui

oui

{e2 ;e3}

non

oui

non

{e2}

non

non

oui

{e3}

non

non

non

{} qui est l'ensemble vide, noté ?

 

On observe bien que P(X) est strictement « plus grand » que X : 8 > 3.

Plus généralement, il est facile de montrer que l'ensemble P(X) d'un ensemble X fini à n éléments contient 2n éléments, et on a bien 2n > n.

 

Prenons maintenant un ensemble X infini dénombrable : {e1 ;e2 ;e3 ;e4 ;e5 ; …}.

 

e1

e2

e3

e4

Numérotons alors ces lignes avec les éléments de X :

oui

oui

oui

oui

n° e1

non

non

non

non

n° e2

oui

oui

oui

non

n° e3

oui

oui

non

oui

n° e4

 

On prend alors la diagonale {oui ; non ; oui ; oui ; …} pour la changer en {non ; oui ; non ; non ; …}.

Ce nouvel ensemble n'est ni le n° e1, ni le n° e2, ni le n° e3, ni le n° e4, etc.

Autrement dit, en construisant P(X), on est certain de construire un sous-ensemble dont le numéro n'est pas dans la liste des éléments de X : P(X) est donc strictement plus grand que X !

Revenons à nos réels... il y a un infini plus grand que celui des réels, c'est celui de l'ensemble P(\(\mathbb{R}\)) des sous-ensembles des réels :

\(\infty_{P(\mathbb{R})}\) > \(\infty_{\mathbb{R}}\).

 

Question 5 : y a-t-il une infinité d'infinis ?

 

En continuant comme précédemment, on pourrait construire l'ensemble P(P(\(\mathbb{R}\))), qui est l'ensemble des sous-ensembles de l'ensemble des sous-ensembles des réels… O_O

Bref, montrer que \(\infty_{P(P(\mathbb{R}))}\) > \(\infty_{P(\mathbb{R})}\) > \(\infty_{\mathbb{R}}\).

Et ainsi de suite ! Il y a donc une infinité d'infinis. Aussi bizarre que cela puisse paraître.

Cet argument conduit d'ailleurs à ce qu'on appelle le paradoxe de Russel1 : il n'existe pas d'ensemble contenant tous les ensembles… mais c'est une autre histoire.

 

Question 6 : \(\infty_{\mathbb{N}}\) < \(\infty_{\mathbb{R}}\), mais existe-t-il un infini intermédiaire ?

 

Si je vous demande de compter naturellement entre 0 et 10, vous me direz « 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ».

L'infini des entiers naturels est appelé infini dénombrable, car on peut dénombrer ses éléments…

Si je vous demande maintenant de me donner tous les réels entre 0 et 10, vous serez bien embêté !

En effet, comment commencer ? « 0, puis.. » … Puis quoi ? 0,01 ? 0,001 ? 0,000000000001 ? …

C'est pourquoi l'ensemble des réels est souvent qualifié de continu.

Mais y a-t-il un infini intermédiaire entre le dénombrable et le continu ?

Penser que ce n'est pas le cas, c'est faire ce qu'on appelle l'hypothèse du continu.

C'est Cantor qui formula cette hypothèse. Pour des histoires de notations que je ne détaillerai pas ici, on note cela avec les lettres « aleph 0 » et « aleph 1 » :

\(2^{\aleph_0} = \aleph_1\).

(on lit « deux exposant aleph-zéro est égal à aleph-un » : les alephs étant les cardinaux des ensembles infinis bien ordonnés…)

 

Cette question a longtemps torturé les mathématiciens ! Il faudra attendre 1963 pour avoir une réponse2 :


- le génial Kurt Gödel (je vous en reparlerai prochainement) a montré en 1938 qu'ajouter l'axiome « l'hypothèse du continu est vraie » à la théorie des ensembles3 de conduit pas à une contradiction (c'est-à-dire démontrer à la fois une proposition et sa négation).


- en 1963, Paul Cohen montra qu'ajouter l'axiome « l'hypothèse du continu est fausse » à la théorie des ensembles ne conduit pas à une contradiction.

 

On dit que cette hypothèse est indécidable dans le cadre de la théorie classique des ensembles : chacun peut choisir s'il veut de cet infini intermédiaire, et cela ne changera rien au reste des mathématiques liées à cette théorie (c'est-à-dire une immense majorité des théorèmes actuels)…

 

Attention cependant, je n'ai pas dit que cette hypothèse n'était ni vraie ni fausse : elle doit bien être vraie ou fausse, mais dans la théorie que l'on utilise généralement pour faire des mathématiques et parler d'infini(s), on ne peut pas trancher… Il existe donc deux catégories de mathématiciens, qui font un choix :

 

Choix 1

Puisque actuellement aucune véritable contradiction n'est apparue avec la théorie classique des ensembles, on la garde et on choisit sans réel risque d'utiliser ou pas l'hypothèse du continu dans nos démonstrations.

 

Choix 2

On considère que la théorie classique des ensembles n'est pas assez satisfaisante, puisqu'elle ne permet pas de trancher sur une question aussi importante, et donc on rejette cette théorie - pour travailler dans une autre – ou on cherche à la compléter – en rajoutant des axiomes.

Diverses éventualités (théorie des types, théorie constructiviste des ensembles, théorie des ensembles avec ensemble universel, etc.) ont été proposées sans toutefois retenir vraiment l'attention des mathématiciens, qui restent attachés à la simplicité de la théorie classique, malgré cet énorme défaut !

 

Comme vous avez pu le voir, la notion d'infini n'est pas si facile à appréhender.

Dans un prochain article, je vous montrerai sur des exemples simples à quel point l’infini peut perturber notre intuition.

Je vous parlerai également d'un théorème qui a alors bouleversé mon enseignement et mes connaissances mathématiques ! Comme disait Emile Cioran, « n'a de convictions que celui qui n'a rien approfondi ». Et c’est là toute la beauté des mathématiques : approfondir prend une vie.

 

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1 Bertrand Russell (1872 – 1970 : mort à 97 ans) était un mathématicien, logicien, philosophe, homme politique et moraliste britannique.

Il écrivit des ouvrages philosophiques dans une langue simple et accessible, en vue de faire partager sa conception d'une philosophie rationaliste œuvrant pour la paix et l'amour. Il s'engagea dans de nombreuses polémiques, défendant des idées proches du socialisme de tendance libertaire et milita également contre toutes les formes de religion, considérant qu'elles sont des systèmes de cruauté inspirés par la peur et l'ignorance. Il organisa le tribunal Sartre-Russell contre les crimes commis pendant la guerre du Viêt Nam.

Son œuvre, qui comprend également des romans et des nouvelles, est couronnée par le prix Nobel de littérature en 1950, en particulier pour son engagement humaniste et comme libre penseur. Il deviendra membre du Parlement britannique.

En 1962, Russell joua un rôle public dans la crise des missiles de Cuba : dans un échange de télégrammes avec le dirigeant soviétique Khrouchtchev, qui lui assura que le gouvernement soviétique ne serait pas irréfléchi. Russell envoya par la suite ce télégramme au président Kennedy : « VOTRE ACTION DÉSESPÉRÉE. MENACE À LA SURVIE HUMAINE. AUCUNE JUSTIFICATION CONCEVABLE. L'HOMME CIVILISÉ LE CONDAMNE. NOUS N'AURONS PAS DE MASSACRE DE MASSE. ULTIMATUM SIGNIFIE GUERRE... METTEZ FIN À CETTE FOLIE »

2 Je simplifie ici un peu les théorème présentés; voir le théorème de Gödel pour ceux que ça intéresse, cela fera peut-être l'objet d'un article.

3 Il faudrait un article entier pour vous parler de cela... C'est la théorie majoritairement utilisée par les mathématiciens aujourd'hui.