SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
• 13 exercices sur les suites (rappels de Première)
• Le cours
• Fiche de 4 exercices supplémentaires et les corrections
Source : tiré de dominique.frin.free.fr
• Récurrence : axiome ou théorème ?
Éléments historiques sur la récurrence. Puis de Péano à Gödel, de Gödel à Goodstein, de Goodstein à Hercule !
• Démonstration du "raisonnement par récurrence" à l'aide de l'axiomatique ordinale
Document de P. Zarpas, trouvé sur le net
• Quelques éléments biographiques sur Kurt Gödel (version PDF)
+ un article de Gianbruno Guerrerio (revue Pour La Science, 2004) qui précise comment, dans les années 1940-1950, au fil de ses discussions avec Einstein, Gödel s'intéresse à la théorie de la relativité générale, au point de développer un modèle cosmologique original.
• Une magnifique vidéo de David LOUAPRE (Science Etonnante) pour mieux comprendre les théorèmes d'incomplétude de Gödel :
Le calcul de certaines suites de nombres peut parfois provoquer des envolées numériques au comportement étonnant, qui semblent filer vers des espaces intersidéraux infinis… mais qui peuvent éventuellement, contre toute attente, revenir atterrir tout doucement sur Terre !
• Pour visualiser le jeu de l'hydre et essayer de comprendre la démonstration du théorème de l'hydre (Hercule parviendra à tuer l'hydre quelles que soient sa taille initiale et la stratégie utilisée), donc parler d'ordinaux de façon « ludique » :
• \(\pi = 2\) ?
• Le cours
• Fiche de 7 exercices pour réviser, tirés d’anciens DS
• Deux exercices de révision + correction :
- suites mêlées \(\begin{cases}
x_{n+1} &= 0.8x_n &- &0.6y_n \\
y_{n+1} &= 0.6x_n &+ &0.8y_n
\end{cases}\) et géométrie repérée (calcul distance)- sens de variation de \(u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n +\frac{1}{3}n+1\)
Source : chingatome.net
• Un exercice de révision (corrigé) :
étude de \(u_{n+1}=\frac{1}{5}u_n +\frac{4}{5}\) (récurrence + limite)
et de \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n u_k\) (sens de variation, terme général, limite)
Source : chingatome.net
Compléments
• Le scandale des séries divergentes... 1+2+3+4+5+… = -1/12 ?!!
Un bel article de David Louapre sur son blog : "science étonnante".
Affecter -1/12 à cette somme est possible sous certaines conditions, et les calculs heuristiques, quoique formellement faux, permettent étonnamment de retrouver cette valeur.
Le pire : ce résultat en apparence absurde est utilisé dans quelques modèles de physique théorique, et notamment c’est elle qui détermine les fameuses dimensions supérieures de la théorie des cordes !
• Le cours
• Fiche de 4 exercices corrigés
Compléments
• Une limite un peu plus compliquée : \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \cos (x) e^{5x+7}= \; ?\)
• Réponse à une question d'une élève : \(\lim\limits_{x \rightarrow \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}= 1 \implies \lim\limits_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow \alpha} g(x) \; ?\)
COMPLÉMENTS SUR LA DÉRIVATION ET CONVEXITÉ
• Le cours
CONTINUITÉ D'UNE FONCTION, APPLICATION AUX SUITES
• Le cours
• Le cours
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
• Le cours
• Primitives : fiche d'exercices et sa correction
• Le cours
• Le cours
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DANS L'ESPACE
• Le cours
ORTHOGONALITÉ ET DISTANCES DANS L'ESPACE
• Le cours
Compléments
• Le produit vectoriel, interprétation géométrique et produit mixte :
• [pour les "option maths expertes"] Inversion matricielle :
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
• Le cours
• Le cours
SUCCESSION D'ÉPREUVES INDÉPENDANTES ET LOI BINOMIALE
• Le cours
• Le cours
CONCENTRATION ET LOI DES GRANDS NOMBRES
• Le cours
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